Sistemi di equazioni lineari: mettiti alla prova

Guida ai sistemi di equazioni lineari

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di due o più equazioni che devono essere soddisfatte dalle stesse incognite. Risolvere il sistema significa trovare tutti i valori delle incognite che rendono vere contemporaneamente tutte le equazioni. Geometricamente, nel caso di due equazioni in due incognite, ogni equazione rappresenta una retta nel piano: la soluzione è il punto di intersezione delle rette, se esiste. I metodi più usati sono la sostituzione, in cui si ricava un'incognita da un'equazione e la si sostituisce nell'altra, la riduzione (o metodo additivo), in cui si sommano o si sottraggono le equazioni opportunamente moltiplicate per eliminare un'incognita, e il metodo grafico, utile per visualizzare la situazione.

Non tutti i sistemi hanno una sola soluzione: un sistema si dice determinato quando ha esattamente una soluzione, impossibile quando non ne ha nessuna (le rette sono parallele e distinte) e indeterminato quando ne ha infinite (le rette coincidono). Un errore molto comune è confondere l'impossibile con l'indeterminato: se durante la riduzione si ottiene un'uguaglianza falsa come 0 = 5 il sistema è impossibile, mentre un'uguaglianza sempre vera come 0 = 0 indica infinite soluzioni. Altra trappola frequente è dimenticare di moltiplicare tutti i termini di un'equazione quando si cerca di annullare un'incognita, oppure sbagliare i segni durante la sostituzione: conviene sempre verificare la soluzione sostituendola in entrambe le equazioni originali.

Per sistemi di tre o più equazioni conviene un approccio sistematico: si può usare il metodo di Gauss, che trasforma il sistema in uno equivalente a scala tramite operazioni elementari, oppure il metodo di Cramer, che calcola le incognite come rapporti tra determinanti. Attenzione però a un malinteso diffuso: Cramer funziona solo se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero; se è zero, il sistema può essere impossibile o indeterminato e serve un'analisi supplementare. Un altro equivoco è pensare che un sistema con più incognite che equazioni non abbia soluzioni: in realtà può averne infinite. Infine, ricorda che moltiplicare un'equazione per una costante non cambia la soluzione, ma sommare equazioni sbagliate di segno sì: la precisione nei passaggi algebrici è ciò che distingue una soluzione corretta da un risultato errato.