Lineare Gleichungssysteme meistern

Themenleitfaden: Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit denselben Unbekannten, zum Beispiel x + y = 5 und x − y = 1. Gesucht ist ein Wertepaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Geometrisch entspricht jede Gleichung einer Geraden; das System ist genau dann eindeutig lösbar, wenn sich die Geraden in genau einem Punkt schneiden. Die drei Standardlösungsverfahren sind das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren (auch Additionsverfahren) und das graphische Lösen. In der Oberstufe kommen Determinanten, die Cramer-Regel und das Gauß-Verfahren hinzu.

Die Wahl des Verfahrens hängt von der Struktur des Systems ab: Liegt in einer Gleichung eine Variable isoliert vor, ist das Einsetzungsverfahren naheliegend. Haben die Variablen in beiden Gleichungen dieselben Koeffizienten bis auf das Vorzeichen, lohnt sich das Additionsverfahren, bei dem man die Gleichungen so multipliziert und addiert, dass eine Variable wegfällt. Häufige Fehlerquellen sind Vorzeichenfehler beim Umformen, das Multiplizieren nur eines Terms statt der ganzen Gleichung und das Vertauschen von x- und y-Wert beim Angeben der Lösung. Prüfe deine Lösung immer, indem du beide Werte in beide Ausgangsgleichungen einsetzt.

Nicht jedes System hat genau eine Lösung: Ein System kann unlösbar sein, wenn die Geraden parallel verlaufen (zum Beispiel x + y = 3 und x + y = 5), oder unendlich viele Lösungen haben, wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben, etwa x + y = 2 und 2x + 2y = 4. Im Gauß-Verfahren erkennst du diese Fälle an einer Nullzeile: Steht links 0 = 0, gibt es unendlich viele Lösungen; steht 0 = a mit a ungleich 0, ist das System widersprüchlich. Auch die Determinante der Koeffizientenmatrix verrät es: Ist sie null, existiert keine eindeutige Lösung. Ein verbreitetes Missverständnis ist, dass null Determinante immer bedeute, es gebe keine Lösung – tatsächlich kann das System dann auch unendlich viele Lösungen besitzen.