Funktionen und Graphen sicher verstehen

Funktionen und Graphen: das Wichtigste zum Verstehen

Eine Funktion ordnet jedem Wert der unabhängigen Variablen x genau einen Wert f(x) zu. Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte (x | f(x)) im Koordinatensystem. Wichtig ist die Zuordnungsvorschrift: Bei f(x) = 2x + 3 setzt man für x einen Wert ein, multipliziert ihn mit 2 und addiert 3. Der Graph ist dann eine gerade Linie mit Steigung 2, die die y-Achse im Punkt (0 | 3) schneidet. Diese beiden Kenngrößen, Steigung m und y-Achsenabschnitt b, beschreiben jede lineare Funktion der Form f(x) = mx + b vollständig.

Häufige Missverständnisse entstehen beim Ablesen und Umformen. Ein verbreiteter Fehler ist die Annahme, die Steigung gebe an, wie weit die Kurve vom Ursprung entfernt ist – tatsächlich beschreibt sie, um wie viel f(x) zunimmt, wenn x um 1 wächst. Ein weiterer Fehler betrifft quadratische Funktionen: Der Graph von f(x) = x² ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, während f(x) = −x² nach unten geöffnet ist. Manche Schülerinnen und Schüler verwechseln außerdem die Nullstelle mit dem y-Achsenabschnitt: Die Nullstelle liegt auf der x-Achse und ergibt sich aus f(x) = 0, der y-Achsenabschnitt aus x = 0. Auch beim Verschieben von Graphen gilt es zu beachten, dass f(x) + 3 den Graphen nach oben verschiebt, f(x + 3) dagegen nach links.

Graphen sind vor allem ein Werkzeug zum Lösen von Aufgaben: Nullstellen ablesen, Schnittpunkte zweier Funktionen bestimmen oder Wachstumsverhalten vergleichen. Beim Schnittpunkt setzt man die beiden Funktionsterme gleich, etwa 2x + 1 = −x + 7, und löst nach x auf, hier x = 2 mit f(2) = 5, also dem Punkt (2 | 5). Wer solche Rechnungen regelmäßig übt, erkennt schnell, ob ein abgelesener Graph plausibel ist: Steigt die Funktion stark, ist die Steigung groß; schneidet sie die y-Achse unterhalb des Ursprungs, ist b negativ. Quizfragen mit Erklärungen helfen, genau diese Zusammenhänge statt bloßer Formeln zu verinnerlichen.