Funzioni e grafici: mettiti alla prova

Guida essenziale a funzioni e grafici

Una funzione è una regola che associa a ogni elemento del dominio esattamente un valore dell'immagine. Se f(x)=2x+3, a ogni x reale corrisponde un solo y: per questo il suo grafico è una retta di pendenza 2 che interseca l'asse y in 3. Il grafico è lo strumento principale per leggere una funzione: le intersezioni con l'asse x mostrano le soluzioni di f(x)=0, l'intercetta con l'asse y dà f(0), e il segno della pendenza rivela se la funzione cresce o decresce.

Molti errori nascono da equivoci precisi. Il primo: confondere funzioni come f(x)=x² con le equazioni, dimenticando che il grafico di una funzione deve superare la prova della retta verticale, cioè ogni verticale lo incontra al massimo in un punto. Per questo la circonferenza x²+y²=9 non è il grafico di una funzione. Il secondo: credere che il dominio sia sempre tutto R. In realtà f(x)=1/(x−2) non esiste per x=2, e le radici come f(x)=√(x−1) impongono x≥1. Il terzo: scambiare il segno della pendenza, ricordando che in y=mx+q una m negativa produce una retta decrescente.

Le funzioni quadratiche meritano attenzione a parte. Il grafico di f(x)=x²−4x+3 è una parabola con concavità verso l'alto (coefficiente dell'x² positivo), vertice in x=2 e intersezioni con l'asse x in x=1 e x=3, che sono le radici dell'equazione x²−4x+3=0. Sapere leggere questi elementi sul grafico permette di rispondere rapidamente a domande su segno, massimo e minimo, senza risolvere ogni volta l'equazione da zero. Esercitarsi con quiz mirati su questi punti rende automatici i collegamenti tra espressione algebrica e rappresentazione grafica.