Dreiecksgeometrie verstanden: Quiz mit Erklärungen

Grundlagen der Dreiecksgeometrie

Ein Dreieck besteht aus drei Seiten und drei Innenwinkeln, deren Summe immer genau 180° beträgt. Aus dieser Winkelsumme folgt der Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel ist gleich der Summe der beiden ihm nicht anliegenden Innenwinkel. Man unterscheidet nach Seitenlängen (unglemseitig, gleichschenklig, gleichseitig) und nach Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig). Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60°, im gleichschenkligen sind die Basiswinkel gleich groß – zwei Fakten, die in fast jeder Aufgabe hilfreich sind.

Bei rechtwinkligen Dreiecken gilt der Satz des Pythagoras: a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist, also die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite. Häufige Fehlerquellen: Die Hypotenuse wird mit einer Kathete verwechselt, oder die Formel wird auf schiefwinklige Dreiecke angewendet, wo sie nicht gilt. Für beliebige Dreiecke braucht man stattdessen den Sinussatz (a/sin α = b/sin β = c/sin γ) und den Kosinussatz (c² = a² + b² − 2ab·cos γ). Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Pythagoras: Bei γ = 90° verschwindet der Zusatzterm, weil cos 90° = 0.

Der Flächeninhalt berechnet sich als A = ½ · g · h (Grundseite mal Höhe durch zwei). Für zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gilt A = ½ · a · b · sin γ. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn alle Winkel übereinstimmen; dann verhalten sich entsprechende Seiten wie im gleichen Verhältnis, und Flächen verhalten sich wie das Quadrat des Seitenverhältnisses – ein Punkt, der oft übersehen wird. Ein verbreiteter Irrtum ist außerdem, dass kongruente Dreiecke nur gleiche Winkel brauchen: Tatsächlich reichen gleiche Winkel nur für Ähnlichkeit, nicht für Kongruenz. Auch die Umkehrung des Satzes des Thales (der Satz des Thales gilt nur für Punkte auf dem Halbkreis) wird häufig falsch verstanden.