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Guía esencial para entender los límites

Un límite describe el valor al que se aproxima una función f(x) cuando x se acerca a un punto concreto, sin necesidad de que la función llegue a estar definida en ese punto. Se escribe lim x→a f(x) = L. Es fundamental distinguir el valor de la función en un punto del valor del límite en ese punto: la función puede no estar definida en x = a y aun así existir el límite. Por ejemplo, la función (x² − 4)/(x − 2) no está definida en x = 2, pero su límite cuando x tiende a 2 es 4, porque (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 para todo x distinto de 2.

Los límites laterales son la herramienta clave para analizar puntos problemáticos. El límite lateral por la izquierda se escribe lim x→a⁻ f(x) y el lateral por la derecha lim x→a⁺ f(x). El límite en un punto existe si y solo si ambos límites laterales existen y coinciden. Esto explica funciones como la escalera unitaria, donde en cada entero los límites laterales valen 0 y 1 y por tanto el límite no existe. Un error muy frecuente es confundir 'la función salta' con 'el límite existe': si los laterales no coinciden, el límite no existe, aunque la función sí esté definida en el punto.

Las indeterminaciones son otro punto donde abundan los malentendidos. Al sustituir directamente y obtener 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ o ∞⁰, no podemos concluir nada todavía: hay que transformar la expresión factorizando, racionalizando o aplicando límites notables como lim x→0 (sen x)/x = 1. Un error típico es pensar que 0/0 'vale 1' o que ∞/∞ 'vale 1': ninguna de las dos afirmaciones es válida, porque el resultado depende de cómo crecen o decrecen las expresiones. También conviene recordar que un límite infinito, como lim x→0⁺ 1/x = +∞, significa que la función crece sin cota, no que el límite sea un número muy grande. Por último, la continuidad en un punto exige tres condiciones: que f(a) exista, que exista el límite en a y que coincidan ambos valores.