Maîtriser les limites : QCM corrigés

Comprendre les limites : notions essentielles et pièges fréquents

La limite d'une fonction décrit le comportement de f(x) quand x se rapproche d'une valeur a, sans nécessairement atteindre cette valeur. Formellement, on dit que lim x→a f(x) = L si f(x) peut être rendu aussi proche de L que souhaité pour x suffisamment proche de a. Un point clé souvent mal compris : la valeur f(a) n'a aucun impact sur la limite. Une fonction peut être non définie en a, comme f(x) = (x² − 4)/(x − 2) en x = 2, et pourtant admettre une limite finie, ici 4, car (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 pour tout x ≠ 2.

Les formes indéterminées sont le cœur des exercices sur les limites. Les notations « 0/0 » et « ∞ − ∞ » ne signifient pas que la limite n'existe pas : elles indiquent qu'un calcul supplémentaire est nécessaire. On factorise, on multiplie par l'expression conjuguée, ou on utilise les croissances comparées. Par exemple, lim x→+∞ de (3x + 1)/(x − 2) = 3 car on factorise par x au numérateur et au dénominateur. Autre piège classique : croire que toute limite infinie est une « erreur ». Une limite égale à +∞ est un résultat parfaitement valide qui traduit une croissance sans borne, et elle révèle souvent une asymptote verticale ou un comportement asymptotique à l'infini.

Enfin, l'existence d'une limite en un point exige que les limites à gauche et à droite coïncident. La fonction partie entière, ou une fonction définie différemment de part et d'autre d'un point, illustre ce phénomène : les limites latérales diffèrent, donc la limite n'existe pas, même si la fonction est définie en ce point. Ne confondez pas non plus continuité et limite : une fonction peut avoir une limite en a sans y être continue, si f(a) n'existe pas ou diffère de la limite. C'est précisément la définition de la continuité : lim x→a f(x) = f(a). Maîtriser cette distinction vous évite de perdre des points sur les questions de raisonnement, fréquentes dans les évaluations.