Maîtrisez les équations du second degré avec des QCM corrigés

Comprendre les équations du second degré

Une équation du second degré s'écrit sous la forme ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0. L'outil central est le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, l'équation admet deux racines réelles distinctes : x₁ = (−b − √Δ) / 2a et x₂ = (−b + √Δ) / 2a. Si Δ = 0, il existe une racine double x₀ = −b / 2a. Si Δ < 0, il n'y a aucune solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées, notion abordée plus tard dans le cursus.

Une fois les racines connues, la factorisation devient immédiate : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Cette forme factorisée sert à résoudre des inéquations, à étudier le signe d'un trinôme et à déterminer des limites de fonctions. La forme canonique a(x + b/2a)² + (Δ/−4a)... plus précisément a(x + b/2a)² − Δ/(4a), permet quant à elle de trouver l'extremum de la parabole représentant la fonction, situé en x = −b/2a.

Les erreurs les plus fréquentes méritent attention. Beaucoup d'élèves oublient que a doit être non nul : si le coefficient de x² s'annule, l'équation devient du premier degré. D'autres confondent Δ = b² − 4ac avec (−b)² − 4ac, ce qui donne le même résultat, mais se trompent ensuite dans le signe de −b : si b = −3, alors −b = 3, pas −3. Enfin, une racine double ne signifie pas « aucune solution » : Δ = 0 fournit bien une solution, simplement répétée. Vérifier en remplaçant les racines trouvées dans l'équation initiale reste le réflexe le plus fiable.