Equazioni di secondo grado: impara con i quiz

Guida alle equazioni di secondo grado

Un'equazione di secondo grado (o quadratica) ha la forma ax² + bx + c = 0, con a diverso da zero. La si risolve con la formula risolutiva: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. La quantità sotto radice, b² − 4ac, si chiama discriminante (Δ) ed è la chiave di tutto: se Δ > 0 ci sono due radici reali distinte, se Δ = 0 le due radici coincidono, se Δ < 0 non esistono soluzioni reali. Prima di applicare la formula, conviene sempre riordinare l'equazione in forma standard: ad esempio 3x² = 5x − 2 va riscritta come 3x² − 5x + 2 = 0 per identificare correttamente a, b e c.

Gli errori più comuni nascono dai segni e dalle frazioni. Il segno meno davanti a b nella formula si applica sempre, anche quando b è già negativo: in x² − 4x + 3 = 0, −b vale +4, non −4. Un altro errore frequente è dimenticare di dividere tutto per 2a: in 2x² − 8x + 6 = 0 le radici sono 1 e 3, non 2 e 6, perché (8 ± √16) va diviso per 4. Attenzione anche al caso a = 0: l'equazione diventa di primo grado e la formula non si applica. Infine, non confondere le soluzioni con le radici del trinomio fattorizzato: se x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), le soluzioni sono proprio 2 e 3, e puoi verificarle sostituendo nell'equazione originale.

Esistono anche metodi alternativi utili in situazioni specifiche. Se a + b + c = 0, una radice è sempre x = 1 e l'altra è c/a; se a − b + c = 0, una radice è x = −1. La somma delle radici vale sempre −b/a e il prodotto c/a: queste relazioni permettono di controllare rapidamente i risultati o di ricostruire un'equazione note le radici. Per le equazioni incomplete (bx = 0 o c = 0) si può risolvere direttamente: x² − 9 = 0 dà x = ±3. Ricorda infine che quando Δ < 0 le soluzioni esistono comunque nell'ambito dei numeri complessi, un argomento che incontrerai negli studi successivi.