Funzioni esponenziali e logaritmiche: mettiti alla prova

Guida essenziale alle funzioni esponenziali e logaritmiche

Le funzioni esponenziali hanno la forma f(x) = a^x con base a > 0 e a ≠ 1. Se a > 1 la funzione cresce sempre più rapidamente (crescita esponenziale), se 0 < a < 1 decresce (decadimento). Il caso più importante in analisi è la base e ≈ 2,71828, perché la funzione e^x è l'unica esponenziale la cui derivata coincide con se stessa: per questo descrive crescita continua, interessi composti e decadimento radioattivo. Un errore frequente è pensare che a^x sia definita per x negativi: lo è, ma il risultato è una frazione, ad esempio 2^(−3) = 1/8.

Il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale: log_a(b) = c significa esattamente a^c = b. Le tre proprietà fondamentali da memorizzare sono: log(a·b) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b e log(a^n) = n·log a. Attenzione ai fraintendimenti classici: log(a+b) NON è log a + log b, e log(a·b) non è log a · log b. Ricorda anche le condizioni di esistenza: il logaritmo è definito solo per argomenti positivi, quindi prima di risolvere un'equazione logaritmica devi imporre le condizioni, altrimenti rischi di accettare soluzioni impossibili.

Per risolvere le equazioni esponenziali conviene portarsi alla stessa base (2^x = 32 diventa 2^x = 2^5, quindi x = 5) oppure applicare il logaritmo a entrambi i membri quando le basi non coincidono. Per le equazioni logaritmiche, dopo aver applico le proprietà per ridurre a un solo logaritmo, si risolve l'equazione risultante e si verificano le condizioni di esistenza. Infine, il cambio di base log_b(a) = ln a / ln b permette di calcolare qualsiasi logaritmo con la calcolatrice usando solo il logaritmo naturale. Graficamente, ricordati che y = a^x e y = log_a x sono simmetriche rispetto alla bisettrice y = x: entrambe passano per il punto (1, 0) o (0, 1) a seconda del verso.