Quiz sur les fonctions exponentielles et logarithmes

Comprendre les fonctions exponentielles et logarithmiques

La fonction exponentielle, notée exp ou e^x, est la seule fonction dont la dérivée est elle-même et qui vaut 1 en 0. Elle transforme les sommes en produits : e^(a+b) = e^a × e^b. C'est cette propriété qui la rend incontournable pour modéliser la croissance d'une population, la désintégration radioactive ou l'évolution d'un capital à intérêts composés. Sa réciproque est le logarithme népérien ln, défini uniquement sur les réels strictement positifs, qui vérifie ln(e^x) = x et e^(ln x) = x pour x > 0.

Les erreurs les plus fréquentes viennent d'une mauvaise transposition des règles de calcul. ln(a+b) n'est PAS égal à ln(a)+ln(b) : seule la transformation d'un produit en somme est valide, ln(a×b) = ln(a)+ln(b). De même, (e^a)^b = e^(ab), mais e^(a²) ≠ (e^a)²... si, justement, (e^a)² = e^(2a), alors que e^(a²) est tout autre chose. Autre piège classique : ln(a/b) = ln(a) − ln(b), mais ln(a−b) ne se simplifie pas. Enfin, ln(0) et ln d'un nombre négatif n'existent pas, car e^x est toujours strictement positif : une équation comme ln(x) = −2 a bien une solution (x = e^(−2)), mais ln(x) = 0 impose x = 1, pas x = 0.

Pour résoudre les équations du type e^(2x) = 5, on applique ln aux deux membres : 2x = ln(5), donc x = ln(5)/2. Pour a^x = b avec a > 0, on passe par ln : x = ln(b)/ln(a). Attention au signe dans les inéquations : comme ln est strictement croissante, ln(x) ≤ 3 équivaut à 0 < x ≤ e³, en n'oubliant jamais la condition d'existence x > 0. Côté limites, retenez les croissances comparées : en +∞, e^x l'emporte sur toute puissance x^n, et x^n l'emporte sur ln(x). Ces résultats, souvent admis puis démontrés en terminale, sont la clé des études de fonctions et des positions relatives.