Test de integrales: pon a prueba tu cálculo

Guía rápida: qué son las integrales y cómo dominarlas

La integral indefinida (o antiderivada) responde a la pregunta: ¿qué función derivada da esta expresión? Por ejemplo, la integral de 3x² es x³ + C, porque al derivar x³ obtenemos 3x². La constante C es imprescindible: sin ella la respuesta está incompleta, porque infinitas funciones comparten la misma derivada. Las reglas básicas que debes dominar son la integral de potencias, la de 1/x, la exponencial y las trigonométricas elementales.

La integral definida, en cambio, calcula el área con signo entre la curva y el eje de abscisas en un intervalo [a, b], y se evalúa mediante el teorema fundamental del cálculo: se busca una antiderivada F y se calcula F(b) − F(a). Aquí desaparece la constante C, porque al restar se cancela. Un error frecuente es confundir área con valor de la integral: si la curva está por debajo del eje, la integral es negativa, aunque el área geométrica sea positiva.

Las técnicas de integración son el verdadero salto de dificultad. El cambio de variable (sustitución u) sirve cuando reconoces una función y su derivada; la integración por partes, basada en la fórmula ∫u dv = uv − ∫v du, resuelve productos como x·eˣ; y las fracciones simples descomponen cocientes de polinomios. Un error muy común es aplicar por partes cuando basta un cambio de variable, o olvidar el factor du/dx al sustituir. Practicar con explicaciones en cada respuesta es la mejor forma de detectar cuándo usar cada técnica.