Quiz : les fonctions du second degré

Comprendre les fonctions du second degré

Une fonction polynôme du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Sa représentation graphique est une parabole, tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Trois écritures permettent de l'étudier : la forme développée, qui donne directement l'ordonnée à l'origine c ; la forme canonique a(x − α)² + β, qui révèle le sommet de la parabole en (α ; β) ; et la forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂), qui fait apparaître les racines lorsqu'elles existent.

Le discriminant Δ = b² − 4ac est l'outil central pour chercher les racines. Si Δ > 0, il y a deux racines réelles distinctes x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, une seule racine double ; si Δ < 0, aucune racine réelle et le trinôme garde un signe constant, celui de a. Une erreur fréquente consiste à oublier le signe moins dans −b, surtout quand b est négatif : pour x² − 5x + 6, on obtient bien −(−5) = 5 et non −5. Autre piège classique : croire qu'un discriminant négatif signifie que la fonction n'existe pas ; elle existe toujours, mais sa courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses.

Les variations suivent directement le signe de a : la fonction décroît puis croît si a > 0, avec un minimum atteint en x = −b/(2a) ; elle croît puis décroît si a < 0, avec un maximum au même point. Beaucoup d'élèves confondent l'abscisse du sommet −b/(2a) avec la racine −b/a, qui ne correspond à rien de général. Attention aussi à la forme canonique : développer (x + 2)² donne x² + 4x + 4, donc le coefficient du terme en x est 2 × 2, pas 2. Enfin, le sommet d'une parabole n'est pas forcément un minimum : c'est un maximum lorsque la parabole est tournée vers le bas.